www.vl. پرتال جامع داوشج یان ي مهىدسیه عمران ارائه کتابها ي جسيات رایگان مهىدسی عمران بهتریه ي برتریه مقاالت ريز عمران اوجمه های تخصصی مهىدسی عمران فريشگاه تخصصی مهىدسی عمران
دانشگاه صنعت آب و برق شهید عباسپور محاسبات عددی اثبات ها تالیف دانشجوئی دانشگاه صنعت آب و برق شهید عباسپور گردآورندگان: مهدی شاداب فر علی اكبر فضلی
اثبات های درس محاسبات عددی.. مهدی شاداب فر علي اكبر فضلي مقدمه: درس محاسبات عددی از جمله درس های مشترک بین رشته های مهندسي و علوم پایه مي باشد و به همین دلیل تعداد زیادی از دانشجویان با این درس در ارتباط هستند. در طي ترم های گذشته مشاهده شد كه مشکالتي در ارتباط با فهم اثبات روش های مورد استفاده در این درس وجود دارد از این رو تصمیم گرفته شد كه در غالب یک جزوه به بررسي این اثبات ها پرداخته شود. به علت زیاد بودن تعداد روش های عددی تنها به بررسي مهم ترین آنها كه در امتحانات پایان ترم امکان مطرح شدن بیشتری دارند پرداخته شد. در طي جزوه روش هائي كه شانس مطرح شدن در امتحان را دارند اما به آنها پرداخته نشده است نیز معرفي شده اند تا در صورت لزوم از روی كتب مرجع مطالعه شوند. در پایان از همه شما عزیزاني كه به مطالعه این جزوه مي پردازید خواهشمندیم كه اشکاالت موجود را به آدرس ms @ oo. om ارسال نمائید تا در اسرع وقت اصالح گردند. سربلند موفق و پیروز باشید. مهدی شاداب فر علي اكبر فضلي زمستان 98
اثبات های درس محاسبات عددی.. مهدی شاداب فر علي اكبر فضلي فصل دوم حل معادالت غیر خطی
اثبات های درس محاسبات عددی.. مهدی شاداب فر علي اكبر فضلي - روش تکرار تابعی است. در این روش ابتدا از معادله یک عدد دلخواه مثل روش تکرار تابعي روشي برای بدست آوردن ریشه های معادله یک سپس با قرار دادن بیرون مي كشیم تا معادله به فرم در مرحله بعد یعني درآید. حال برای حدس مي زنیم را به دست مي آوریم. اگر این كار را تکرار كنیم uss lm باشد. حال مي به شرطي به سمت ریشه میل خواهد كرد كه به سمت ریشه میل خواهد كرد. این روش یک شرط همگرائي دارد یعني خواهیم این شرط همگرائي را اثبات كنیم. - -شرط همگرائی روش تکرار تابعی باشد مي توانیم بگوئیم: اگر جوابي برای یادآوری قضیه مقدار میانگین: مي توانیم بگوئیم: برای تابع بین نقاط و. به طوری كه طبق قضیه مقدار میانگین داریم: بنابراین مي توانیم بنویسیم: ام را به شکل و به همین شکل خطای مرتبه خطای مرتبه ام را به صورت تعریف مي كنیم. حال به كمک این تعریف و رابطه قبل مي توانیم بگوئیم: به این روش نقطه ثابت یا pot هم مي گویند. 9
اثبات های درس محاسبات عددی.. مهدی شاداب فر علي اكبر فضلي.. استفاده كنیم و اثبات نمائیم كه اگر این شرط در اینجا مي خواهیم از شرط همگرائي روش تکرار تابعي یعني یرقرار باشد روش همگرا خواهد شد. برای این كار عددی مانند را بین خواهیم داشت: و 9 انتخاب مي كنیم. با این انتخاب و خواهیم داشت: lm lm lm lm lm lm است : lm با استفاده از معادالت به همین برهان خواهیم داشت: بنابراین خواهیم داشت: از آنجائیکه عددی مثبت و كمتر از 9 اثبات همگرائي روش تکرار تابعي تمام شد اما دو موضوع دیگر نیز وجود دارد كه گاهي اوقات در امتحان آورده شده است. در این جا به این دو موضوع مي پردازیم. - -ریشه بدست آمده از روش تکرار تابعی منحصر به فرد است. از برهان خلف استفاده مي كنیم. یعني فرض مي كنیم معادله دارای دو ریشه باشد: و طبق قظیه مقدار میانگین داریم: با استفاده از معادالت و خواهیم داشت كه مخالف فرض همگرائي روش تکرار تابعي است. بنابراین فرض خلف باطل و حکم ما ثابت است. -- تسریع ایتکن تسریع ایتکن روشي است كه كار ما را در رسیدن به ریشه مورد نظر سرعت مي بخشد. به عبارتي با استفاده از این روش بدون نیاز به تکرارهای زیاد به ریشه تابع به سرعت نزدیک مي شویم. شما باید بتوانید تسریع ایتکن را با استفاده از معادالت آن تشریح كنید پس با دقت این روش را مطالعه كنید.
يلضف ربكا يلع رف باداش یدهم.. یددع تابساحم سرد یاه تابثا 5 لومرف ساسا رب نکتیا عیرست نایب ينعی.دنك يم راك شور زا هدافتسا اب امش رگا هك دنك يم ددع هس اهنت يعبات رارکت و هب يئلااب رایسب تقد اب دیهد رارق نکتیا عیرست لومرف رد و دینك هبساحم ار.مینك يم يسررب ار عوضوم نیا ام.دیسر يم هشیر :مینك تباث میناوت يم بیترت نیمه هب :تشاد میهاوخ نکتیا عیرست لومرف رد ریداقم نیا نداد رارق اب لاح رظن فرص و لااب رسك ندرك هداس اب مود یاهناوت زا میهاوخ يکچوك تلع هب :تشاد :هتکن ار نکتیا عیرست لومرف اجنیا رد دیشاب ظفح ار نآ دیاب امش و دوش يمن هداد امش هب نکتیا عیرست لومرف تاقوا رتشیب رد :دینك تقد.دشاب رت تحار نآ ندرك ظفح ات میسیون يم یرت هداس لکش هب
اثبات های درس محاسبات عددی.. مهدی شاداب فر علي اكبر فضلي - روش نیوتن روش نیوتن نیز روشي برای به دست آوردن ریشه های معادله ای مثل و قرار دادن آن در معادله زیر مرحله بعد یعني مثل مورد نظر برسیم. روش نیوتن به شرطي همگرا خواهد شد كه: ابتدا اثبات روش نیوتن را خواهیم گفت و سپس به اثبات همگرائي آن خواهیم پرداخت. است. در این روش با حدس زدن یک به دست مي آید. این كار باید آنقدر تکرار شود تا به دقت. مماسي رسم كرده و بر روی تابع N - -اثبات روش نیوتن از نظر هندسي روش نیوتن اینگونه عمل مي كند كه از نقطه ای مانند محل برخورد آن را با محور ها محاسبه مي كند. سپس محل برخورد را بر روی نمودار تصویر كرده و دوباره مماس رسم ها به سمت ریشه میل مي كند. ما نیز برای اثبات فرمول روش نیوتن با توجه به مي كند. محل برخورد مماس با محور N را مي نویسیم. شکل زیر معادله خط مماس بر منحني از نقطه N M حال محل برخورد این مماس را با محور : معادله خط مماس از نقطه ای به طول ها به دست مي آوریم.
يلضف ربكا يلع رف باداش یدهم.. یددع تابساحم سرد یاه تابثا 7 نتوین شور یئارگمه تابثا-- يعبات رارکت شور زا يصاخ تلاح نتوین شور یاج هب طقف تسا نیاربانب.تسا هدش هتشاذگ زا نتوین شور يئارگمه تابثا یارب.مینك يم هدافتسا يعبات رارکت شور يئارگمهب نتوین شور یئارگمه-- زا.دشاب یم مود هبترم نیا لیلد نیمه هب.تسا هدش هدروآ ناحتما رد راب نیدنچ دشاب يم مدنچ هبترم زا نتوین شور يئارگمه هك عوضوم نیا.دیئامن هعلاطم زین ار تمسق 5 عبات رولیت طسب لاح هطقن لوح.میسیون يم ار! لااب هلداعم رد :هکنوچ تسا رفص نیاربانب یدعب تلامج زا رظن فرص اب هلداعم :مینك هداس ریز تروص هب میناوت يم ار 7 یراذگیاج اب 7 رد 5 :میراد هبترم یاطخ نیاربانب عبات مود هبترم قتشم زا يبیرض اب تسا ربارب ما هبترم یاطخ ردبرض عوضوم نیا و ما.دشاب يم مود هبترم زا نتوین شور يئارگمه هکنیا ينعی
اثبات های درس محاسبات عددی.. مهدی شاداب فر علي اكبر فضلي -روش مولر به كار مي رود. روش مولر نیز همانند دو روش قبل برای محاسبه ریشه های معادله در این روش مي بایست سه نقطه و در اطراف ریشه تابع حدس زده شود. سپس به این سه نقطه یک معادله درجه دو برازش داده شود. اگر همین كار برای دو نقطه از نقاط قبل و یکي از ریشه های معادله درجه دو تکرار شود. ریشه معادله درجه دو جدید به سمت ریشه تابع میل مي كند. روش مولر كه درباال مختصرا توضیح داده شد از معادالت زیر استفاده مي كند. مي باشد. كه و و - -اثبات معادالت روش مولر ضابطه معادله درجه دومي را كه قرار است به سه نقطه حال یک تغییر متغیر به شکل برازش دهیم مي نامیم. v تعریف مي كنیم. به تعبیر دیگر میتوانیم بگوئیم محورهای مختصات را به اندازه v v v v جابجا مي كنبم. 8
يلضف ربكا يلع رف باداش یدهم.. یددع تابساحم سرد یاه تابثا 9 v v v بیارض و هدرك لح ار لااب لوهجم هس هلداعم هس ریز لکش هب لاح و و.میبای يم ار 8 9 8 یراذگیاج اب رد 9 :میراد ضرف اب :میراد بیارض هك لااح و و هلداعم یاه هشیر دندمآ تسدب v v v :میبای يم ار v oot رگا لااب لومرف رد :هتکن زا دشاب تبثم رگا و مینك يم هدافتسا زا دشاب يفنم هجرد هلداعم یاه هشیر زا کی مادك هك دوش يم صخشم بیترت نیا هب..مینك يم هدافتسا مود.دریگ رارق رظن دم دیاب
اثبات های درس محاسبات عددی.. مهدی شاداب فر علي اكبر فضلي فصل سوم حل دستگاههای معادالت خطی
اثبات های درس محاسبات عددی.. مهدی شاداب فر علي اكبر فضلي مجهول به كار مي روند. - روشهای ژاكوبی و گاوس سیدل روشهای ژاكوبي و گاوس سیدل برای حل یک دستگاه معادله ام اگر از معادله اول از معادله دوم و از معادله را بیرون بکشیم خواهیم داشت: را حدس مي زنیم. سپس با قرار دادن آنها در طرف راست معادالت باال تا در روش ژاكوبي ابتدا تا مرحله جدید را پیدا مي كنیم. اگر این كار را چند بار تکرار كنیم تا به سمت جواب میل مي كنند. در روش گاوس سیدل هم ابتدا بدست آمده و مقادیر تا تا را حدس مي زنیم. با قرار دادن آنها در معادله اول و قرار دادن آنها در معادله دوم را مي یابیم. حال با را به دست مي آوریم. همین كار را ادامه مي دهیم تا تمام جدید تا بدست آیند. این چرخه را دوباره تکرار مي كنیم تا مقادیر ما به جواب نزدیک تر شوند. روش های ژاكوبي و گاوس سیدل هر دو دارای یک شرط همگرائي هستند و آن این است كه ماتریس باید قطری مسلط باشد یعني اینکه: - -شرط همگرائی روشهای ژاكوبی و گاوس سیدل برای معادله سطر ام داریم: از آنجائیکه نزدیک مي كنیم. و در معادله باال تقریبي مي باشند با اضافه كردن خطای آنها به شکل زیر آنها را به مقادیر دقیقشان
يلضف ربكا يلع رف باداش یدهم.. یددع تابساحم سرد یاه تابثا :تشاد میهاوخ و 9 تلاداعم زا هدافتسا اب لثم يترابع اطخ رادقم ممیزكام هکنیا ضرف اب لاح :تشاد میهاوخ دشاب } m{ رادقم رگا رتمك یواسم ای هلحرم زا هلحرم ره یاطخ هك تفگ ناوت يم دشاب کی تسا رتمك شلبق.دشاب يم ارگمه شور ينعی.تسا ندوب طلسم یرطق فیرعت نامه ترابع نیا بیرض رادقم رگا :هتکن 9 زا رتگرزب هك تشاد دوجو ناکما نیا دوب ان 8 هلداعم هلحرم ره یاطخ اما دشاب رارقرب زا شلبق هلحرم.دشابن رتکچوك :لاثم.9.9.5 ut
اثبات های درس محاسبات عددی.. مهدی شاداب فر علي اكبر فضلي فصل چهارم مقادیر ویژه و بردارهای ویژه
اثبات های درس محاسبات عددی.. مهدی شاداب فر علي اكبر فضلي 5- روش توانی این روش برای بدست آوردن بزرگترین مقدار ویژه و بردار ویژه متناظر با آن به كار مي رود. -5- اثبات همگرائی روش با استفاده از تعریف مقادیر ویژه و بردارهای ویژه داریم: A X X كه در این معادله A ماتریسي است كه مي خواهیم مقدار ویژه و بردار ویژه آن را حساب كنیم X بردار ویژه و λ مقدار Z X X AZ A X X از هم مستقل باشند مي توانیم بنویسیم: X A X A X X X تقسیم مي كنیم و نام آن را Z مرحله 9 مي Z Z X X X X X X ویژه مي باشد. از جبر خطي مي دانیم كه اگر كه مقادیر ثابتي مي باشند. حال مرحله صفر را به شکل زیر تعریف مي كنیم: با توجه به معادالت 9 و داریم: یک بردار است. این بردار را بر بزرگترین درایه اش ار نظر قدر مطلقي X نامیم. نکته: از آنجائیکه Z عبارتست از بردار كه به بزرگترین درایه اش تقسیم شده است مي توان گفت كه بزرگترین درایه Z Z Z AZ A X X X A X X A X X X X X یک است. با تکرار عملیات فوق برای مرحله بعد خواهیم داشت: X X و به همین ترتیب برای مرحله ام داریم:
اثبات های درس محاسبات عددی.. مهدی شاداب فر علي اكبر فضلي Z z اگر فرض كنیم كه ترتیب مقادیر ویژه به شکل زیر باشد مي توانیم بنویسیم: X X X اگر از معادله باال حد به سمت بي نهایت بگیریم خواهیم داشت: Z X با توجه به معادله باال و نیز اینکه با ضرب یک عدد در بردار ویژه آن بردار ویژه تغییر نمي كند و خواص خود را حفظ مي AZ A X Z. Z X كند مي توانیم بگوئیم كه وقتي با پیش ضرب Z در A داریم: از آنجائیکه بزرگترین عنصر از نظر قدر مطلقي برای Z یک مي باشد بزرگترین عنصر از نظر قدرمطلقي برای بزرگترین مقدار ویژه مي باشد. نکته: سرعت همگرائي روش تواني به نسبت نزدیک باشد سرعت زیادتر خواهد بود. ربط دارد. هرچه این نسبت به 9 نزدیک باشد سرعت كم و هرچه به صفر 5
اثبات های درس محاسبات عددی.. مهدی شاداب فر علي اكبر فضلي فصل پنجم برازش
اثبات های درس محاسبات عددی.. مهدی شاداب فر علي اكبر فضلي 5- برازش فرض كنید در طي سرشماری در سالهای بین 98 تا 98 جمعیت شیراز مطابق جدول زیر مي باشد. 98 98 98 98 98 98 98 98 98 سال 8 8 8 9 8 جمعیت حال مي توانیم جمعیت را در سالهای مختلف مثال در سال 98 با درونیابي بدست آوریم برای درونیابي ابتدا باید یک منحني برازش دهیم و سپس با استفاده از این منحني جمعیت را در سالهای مختلف بدست آوریم. به طور كلي ما مي توانیم به دو صورت منحني را برازش دهیم : در روش اول كه به pot مشهور است منحني ما به گونه ای است كه مقدار خطا در نقاطي كه در جدول مشخص شده صفر مي باشد یعني اینکه منحني ما از این نقاط مي گذرد و برای رسیدن به این هدف مثال در مورد جدول باال كه مقادیر نقطه مختلف را داریم باید یک منحني درجه تقریب بزنیم -كه به آن درونیابي درجه مي گویند- یا در ساده ترین حالت اگر مقادیر نقطه مختلف داشتیم باید یک منحني درجه یک تقریب بزنیم -كه به آن درونیابي درجه یک مي گویند. در روش دوم دیگر الزم نیست كه الزاما منحني از نقاط موجود در جدول بگذرد و در نتیجه ما مي توانیم برای هر تعداد نقطه كه داشته باشیم منحني با درجه دلخواه عبور دهیم كه در آینده به آن مي پردازیم. -5- روش الگرانژ در روش الگرانژ داریم P دهیم و كه در آن مقادیر = P +E كه مقدار تقریبي كه E مقدار خطاست كه در ادامه بدست آوردن آن را توضیح مي است را به روش زیر بدست مي آوریم. P را از روی جدول مي خوانیم و مقادیر را به روش زیر بدست مي آوریم. در اینجا ما سعي بر آن داریم كه با یک مثال درون یابي الگرانژ را توضیح دهیم. فرض كنید كه در نتیجه یک آزمایش یا یک سر شماری یا هر چیز دیگر اطالعات زیر را بدست آورده ایم حال اگر بخواهیم مثال.5 =P.75..9..55.9.88.. را به روش الگرانژ بدست آوریم مي توانیم به روش زیر عمل كنیم. 7
اثبات های درس محاسبات عددی.. مهدی شاداب فر علي اكبر فضلي حال اگر بخواهیم از الگرانژ درجه یک استفاده كنیم حتما باید با استفاده از نقاط 9.8 و 9. كه 9. بین آن دو است چند =P..9..55 جمله ای الگرانژ را بدست آوریم در نتیجه داریم. P P.5 P.5.5.598.......5.5...8.55.... و و اگر بخواهیم از تقریب درجه دو استفاده كنیم به سه نقطه نیاز داریم مي توانیم این كار را با استفاده از نقاط 9 و 9.8 و 9. یا با استفاده از نقاط 9.8 و 9. به صورت زیر مي شود. و 9. كه 9. بین این دسته از اعداد است انجام دهیم.كه به عنوان مثال با استفاده از نقاط 9.8 =P..9..55.9.88 9. و 9..5 P.5.5..9..9....9....9 P.5.587.5.5...9..9. در این مثال چون نقطه داریم حداكثر مي توانیم یک چند جمله ای الگرانژ درجه تقریب بزنیم. 8
اثبات های درس محاسبات عددی.. مهدی شاداب فر علي اكبر فضلي -5- روش نیویل این روش نیز pot است. همانطور كه در روش قبل دیدیم یکي از مشکالت اصلي روش الگرانژ این است كه كار الزم برای محاسبه تقریب به وسیله چند جمله درجه دو كار الزم برای محاسبه تقریب سه را كم نمیکند همچنین تقریب درجه چهار با معلوم بودن تقریب درجه سه آسانتر بدست نمیاید. هدف این بخش یافتن این چند جمله ای های تقریب ساز است به نحوی كه از محاسبات قبلي حداكثر استفاده برده شود. اطالعاتي كه در ابتدا داریم مثل همان مثال قبل است البته توجه داشته باشیم كه ستون های این جدول با شوند كه P P معرف سطر و معرف ستون است بنابراین مي باشد. مشخص مي =P.75..9..55.9.88.. در نتیجه اگر بخواهیم مقدار تابع در 7.5= بدست آوریم به صورت زیر عمل مي كنیم. در نتیجه اگر بخواهیم با استفاده از درون یابي درجه یک تقریب بزنیم با استفاده از فرمول زیر مقادیر ستون = را بدست مي آوریم. برای روشن تر شدن مطلب مقدار P P P P را محاسبه مي نماییم: اگر دقت كنیم مي فهمیم مقدار = و = مي باشند P 7.5..757. 7.5.9...5 =P P.599.9..778.5..9.5..757.779 5.5.8 9
اثبات های درس محاسبات عددی.. مهدی شاداب فر علي اكبر فضلي P P از ستون قبل از استفاده شده است به طوری كه مشاهده مقدار توجه داشته باشیم كه در درون یابي ستون ستون قبل از آن = و با استفاده از مقادیر مربوط به درجه یک است كه از دو نقطه متوالي ستون قبل از خود مي گذرد. = از P = و = بدست آمده است پس نمایش چند جمله ای حال اگر بخواهیم با استفاده از درون یابي درجه دو تقریب بزنیم دوباره با استفاده از همان فرمول قبلي مقادیر ستون = را بدست مي آوریم. P P P برای روشن تر شدن مطلب مقدار P را محاسبه مي نماییم: اگر دقت كنیم مي فهمیم مقدار = و = مي باشند P 7.5..779 5.5 7.5.5 5.5..558 =P P P.599.9...778.5.7..9.5.558..757.779 5.5.8 توجه داشته باشیم كه در درون یابي ستون P از ستون قبل از استفاده شده است به طوری كه مشاهده مقدار از ستون قبل از = آن و با استفاده از مقادیر مربوط به = و = بدست آمده است اما در اینجا = P P ای درجه دو است كه از دو نقطه متوالي ستون قبل از خود و از سه نقطه ستون دوتا قبل از مي گذرد. چونکه نقطه ستون قبل از خود مي گذرد كه آن دو نقطه به سه نقطه ستون قبل از خودشان وابسته مي باشند به همین منوال مي توانیم دو ستون بعدی كه نشان دهنده تقریب درجه سه و چهار است را بدست آوریم. نمایش چند جمله P از دو =P P P P P.599.9..7.575..778.5.7.79..9.5.558..757.779 5.5.8 حال اگر كمي دقت كنیم در مي یابیم كه- همانطور كه در ابتدا گفتیم- در این روش بر خالف روش الگرانژ برای تقریب های باالتر از تقریب یک درجه پایین یا به عبارتي برای یافتن مقدار هر ستون از ستون قبلي استفاده میشود.
يلضف ربكا يلع رف باداش یدهم.. یددع تابساحم سرد یاه تابثا دودحم لضافت شور --5 ندوب دایز تلع هب و میهد ماجنا ار تابساحم مامت دیاب زاب دیدج هطقن يبای نورد یارب لیوین و ژنارگلا یاه شور رد.درادن ار لکشم نیا رگید تابساحم ندوب مك تلع هب شور نیا رد اما دریگ يم ام زا یدایز تقو راك نیا تابساحم.دشاب يم لبق دروم ود دننامه هلئسم تاضورفم مه اج نیا رد رادقم میهاوخ يم ام ضرف هب کی یارب نیب و بیرقت یارب میروآ تسدب ریز یا هلمج دنچ زا میناوت يم.مینك هدافتسا P ریداقم نییعت یارب لاح مینك يم لمع ریز شور هب یا هلمج دنچ هك میناد يم P طاقن رد ربارب دیاب میراد هجیتن رد دشاب طاقن نامه رد P P.مینك يم هدافتسا ریز درادناتسا تملاع زا تابساحم رد يتحار یارب لاح ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] هك ] ] ]
اثبات های درس محاسبات عددی.. مهدی شاداب فر علي اكبر فضلي ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] و P مي توان مقدار برای های بین در نتیجه با استفاده از چند جمله ای ای ما در این حالت درجه چهار است تقریب زد. توجه شود كه چند جمله -5- روش حداقل مربعات همانطور كه در شکل مقابل نشان داده شده است مقدار در نقاط مشخص شده و تابع برازش داده شده یکسان نمي باشد. اختالف این دو خطا مي باشد. در روش حداقل مربعات مجموع مربع خطاها را مینیمم خواهیم كرد. یعني عبارت زیر را مینیمم خواهیم كرد: Y Y --5- روش حداقل مربعات برای توابع جبری معمولی در این قسمت مي خواهیم به دو دسته عدد و همانند جدول زیر تابع درجه دوم دهیم. برای توابع جبری با درجات باالتر نیز به همین روش عمل خواهیم كرد. را برازش X 5.5 7 9.8 Y 5 7.8. 5..9
يلضف ربكا يلع رف باداش یدهم.. یددع تابساحم سرد یاه تابثا Y Y. ریداقم لوهجم هس هلداعم هس هاگتسد نیا لح زا و و.دیآ يم تسد هب ام رظن دروم عبات هطباض هجیتن رد و
اثبات های درس محاسبات عددی.. مهدی شاداب فر علي اكبر فضلي فصل هفتم انتگرالگیری عددی
يلضف ربكا يلع رف باداش یدهم.. یددع تابساحم سرد یاه تابثا 5-5 یددع یریگلارگتنا لارگتنا یراذگیاج اب هک دنراوتسا انبم نیا رب یریگلارگتنا یاه شور هدمع هبساحم ار لارگتنا رادقم هداس عبات کی اب هد.دننک یم P R P R P F F زتوك نتوین یریگلارگتنا یاه شور --5 نیا.دوش یم هدافتسا یروگیرگ نتوین طسب زا زتوک نتوین یریگلارگتنا یاه شور رد.تسا ریز رارق زا طسب!! P زتوك نتوین شور---5 s اطخ رد ضرف زا لااب.دش هدافتسا هیضق :راد نزو نیگنایم هك يطرش هب هزاب رد :میراد دهدن تملاع رییغت زا هکیئاجنآ هزاب رد تسا رفص یواسم ای رتکچوك هراومه :میراد اطخ
يلضف ربكا يلع رف باداش یدهم.. یددع تابساحم سرد یاه تابثا زتوك نتوین شور---5 اطخ اطخ V 5 5 5 9 V V زتوك نتوین شور---5 8 8 9 9 اطخ 5 V 8 5 V هقنزوذ شور--5 شور 9 زتوك نتوین شور طسب زا هقنزوذ :دیآ يم تسد هب یا هیحان یاطخ
يلضف ربكا يلع رف باداش یدهم.. یددع تابساحم سرد یاه تابثا 7 :هتکن رگا یور یارب یرادقم دشاب هتسویپ :هك یا هنوگ هب دراد دوجو و عومجم اه O لك یاطخ موس کی نوسپمیس شور--5 لومرف نوسپمیس شور زتوك نتوین طسب زا موس کی.دیآ يم تسد هب 5 اطخ 9 9 9 9 5 5 5 5 V V V V 8 V متشه هس نوسپمیس شور--5 لومرف متشه هس نوسپمیس شور 8 زتوك نتوین طسب زا.دیآ يم تسد هب 8 8 8 5 اطخ 8 8 8 8 5 5 5 V V V V -5 -ر گربمار یریگلارگتنا شو رگا :مینك ضرف ریز لارگتنا قیقد رادقم ار يم :دز نیمخت ریز لکش هب هقنزوذ شور زا هدافتسا اب ار لارگتنا نیا رادقم ناوت
يلضف ربكا يلع رف باداش یدهم.. یددع تابساحم سرد یاه تابثا 8 لاح اطخ هبساحم و یروگیرگ نتوین لومرف زا هدافتسا اب :میراد یدعب هلمج نوناق زا اطخ :
يلضف ربكا يلع رف باداش یدهم.. یددع تابساحم سرد یاه تابثا 9 5 5 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 و :تشاد میهاوخ بیترت نیمه هب m m m نیدب رطق.دومن لیمکت ار ریز لودج ناوت يم بیترت :دنك يم لیم باوج تمس هب لودج نیا m= m= m= 8 8 8 8 m=
اثبات های درس محاسبات عددی.. مهدی شاداب فر علي اكبر فضلي فصل هشتم معادالت دیفرانسیل
يلضف ربكا يلع رف باداش یدهم.. یددع تابساحم سرد یاه تابثا اتوك جنار شور--8 L یاطخ يعضوم.! O! s s s O O لاح رد رظانتم یاه هفلؤم نداد رارق یواسم اب و :میراد!!
يلضف ربكا يلع رف باداش یدهم.. یددع تابساحم سرد یاه تابثا روطنامه اب.میا هدروخرب لوهجم راهچ هلداعم هس هاگتسد کی هب دینك يم هدهاشم هك تلاوهجم زا يکی ضرف ار هیقب :مینك يم هبساحم زا.مینك يم باختنا ار دشاب يم تلاح نیرت هنیهب هك طسو تلاح تلااح نیا نایم نیاربانب :میراد